Разложите на множители многочлен: а) x^3-5x+2 б) y^8+y^4+1

Решение:

a). Подбирая возможные корни, определяем, что х = 2 - корень многочлена x³ - 5x + 2. Прибавляем и вычитаем 8, чтобы применить формулу разности кубов а³ - b³ = (a - b) (а² + ab + b²):

(x³ - 8) + 8 - 5x + 2 = (x - 2) (x² + 2 х + 4) + 10 - 5 х.

Вынесем общий множитель ( - 5) за скобку:

(x - 2) (x² + 2 х + 4) - 5 (х - 2).

Вынесем общий множитель (х - 2) за скобку:

(x - 2) (x² + 2 х + 4 - 5) = (x - 2) (x² + 2 х - 1).

Решим квадратное уравнение:

x² + 2 х - 1 = 0;

D = b² - 4ac = 4 - 4 · (-1) = 8;

x₁ = ^{( - b - √ D)} / _(2a) = ^{( - 2 - √}⁸⁾ / ₂ = ^{( - 2 -} ²^√²⁾ / ₂ = - 1 - √2 = - (1 + √2);

x₂ = ^{( - b + √ D)} / _(2a) = ^{( - 2} ⁺ ^√⁸⁾ / ₂ = ^{( - 2} ⁺ ²^√²⁾ / ₂ = - 1 + √2 = - (1 - √2).

Таким образом:

(x - 2) (x² + 2 х - 1) = (x - 2) (x + (1 + √2)) (х + (1 - √2)).

Ответ: (x - 2) (x² + 2 х - 1) = (x - 2) (x + 1 + √2) (х + 1 - √2).

б). Прибавим и вычтем y⁴ и воспользуемся квадратом суммы (а + b) ² = (а² + 2ab + b²):

y⁸ + y⁴ + 1 + y⁴ - y⁴ = (y⁸ + 2y⁴ + 1) - y⁴ = (y⁴ + 1) ² - y⁴.

По формуле разности квадратов:

(y⁴ + 1) ² - (y²) ² = (y⁴ + 1 - y²) (y⁴ + 1 + y²).

Заменив y² = t, определяем, что уравнения t² - t + 1 = 0 и t² + t + 1 = 0 корней не имеют, т. к. D = b² - 4ac = - 3.

Ответ: y⁸ + y⁴ + 1 = (y⁴ + 1 - y²) (y⁴ + 1 + y²).