Найдите наибольшее натуральное число n, при котором 1-2-3 - ... - 2017 делится без остатка на 2^n.

Количество всех двоек среди чисел от 2^ (k - 1) + 1 до 2^k обозначим N (k).

1. Число 2 имеет одну двойку: N (1) = 1. 2. Числа 3 и 4 имеют две двойки: N (2) = 2. 3. Среди чисел 5, 6, 7 и 8 - четыре двойки: N (3) = 4. 4. Среди чисел от 9 до 16 - восемь двоек: N (4) = 8. 5. Среди чисел от 2^ (k - 1) + 1 до 2^k двоек: N (k) = 2^ (k - 1). 6. Среди чисел от 2^10 + 1 до 2^11 двоек: N (11) = 2^10.

Сумма всех двоек среди чисел от 1 до 2048 равна

S = 1 + 2 + 4 + ... + 2^10 = 1 * (2^11 - 1) / (2 - 1) = 2047.

3. Среди чисел от 2017 до 2048 двоек:

2018 - 1, 2020 - 2, 2022 - 1, 2024 - 3 2026 - 1, 2028 - 2, 2030 - 1, 2032 - 4 2034 - 1, 2036 - 2, 2038 - 1, 2040 - 3, 2042 - 1, 2044 - 2, 2046 - 1, 2048 - 11.

Двоек: 8 * 1 + 4 * 2 + 2 * 3 + 4 + 11 = 8 + 8 + 6 + 4 + 11 = 37.

2047 - 37 = 2010.

Ответ: 2010.