Найти наименьший положительный период функции у=cos2x

Сделаем подстановку 2 х = t и рассмотрим функцию у = cos (t).

Поскольку функция у = cos (t) является периодической с наименьшим положительным периодом, равным 2π, то выполняется следующее соотношение:

cos (t) = cos (t + 2π).

Возвращаясь к сделанной подстановке, получаем следующее соотношение:

cos (2 х) = cos (2 х + 2π) = cos (2 * (х + π)).

Следовательно, функция у = cos (2 х) является периодической с периодом, равным π.

Покажем, что данные период является наименьшим положительным.

Допустим, существует положительный период данной функции, меньший чем π.

Пусть этот период равен T.

Тогда должно выполняться следующее соотношение:

cos (2 х) = cos (2 (х + Т)) = cos (2 х + 2 Т).

Следовательно, число 2 Т должно являться периодом функции у = cos (t).

Однако такого не может быть, поскольку 2 Т < 2π, а число 2π является наименьшим положительным периодом функции у = cos (t).

Следовательно, π является наименьшим положительным периодом функции у = cos (2 х).

Ответ: наименьший положительный период функции у=cos2x равен π.