На доске было написано натуральное число N. Маша подсчитала произведение его цифр и получила число M. Потом Маша подсчитала произведение цифр числа M и получила 1001. Докажите, что Глафира ошиблась.

Заметим, что число 1001 разлагается на простые множители:

1001 = 7 * 11 * 13.

Если девочка перемножала цифры записи числа M, которое записывается цифрами:

а1 а2 а3 ... аn,

то имело бы место следующее равенство:

а1 * а2 * а3 ... * аn = 1001 = 7 * 11 * 13.

Следовательно, хотя бы одно из значений а1, а2, ..., аn должно делиться на 11 или на 13. Но все числа а1, а2, ..., аn являются цифрами и поэтому меньше или равны 9. Отсюда вытекает, что равенство не может быть верным.

Девочка, очевидно, ошиблась в расчетах.