8 cos 10 * cos 20 * cos 40 = ctg 10

Для решения задачи будем использовать формулу приведения:

sin (90° - ф) = cos (ф) и

формулу синуса двойного угла:

sin (2 * ф) = 2 * sin (ф) * cos (ф).

Заметим, что

sin (80°) = cos (10°).

Проведем последовательные преобразования, используя формулу синуса двойного угла:

2 * sin (40°) * cos (40°) = cos (10°),

2 * 2 * sin (20°) * cos (20°) * cos (40°) = cos (10°),

2 * 2 * 2 * sin (10°) * cos (10°) * cos (20°) * cos (40°) = cos (10°),

8 * cos (10°) * cos (20°) * cos (40°) = cos (10°) / sin (10°),

8 * cos (10°) * cos (20°) * cos (40°) = ctg (10°),

что и требовалось доказать.