Исследовать на локальный экстремум функцию: z=x^3 + y^3 - 3xy

Для того чтобы найти точки перегиба данной функции найдем первые производные от данной функции по х и по y:

∂Z / ∂x = Z'x = (x^3 + y^3 - 3xy) ' = 3x^2 - 3y;

∂Z / ∂y = Z'y = (x^3 + y^3 - 3xy) ' = 3y^2 - 3x;

Решим систему из двух уравнений:

3x^2 - 3y = 0;

3y^2 - 3x = 0;

x^2 - y = 0;

y^2 - x = 0;

x^2 = y;

y^2 = x;

x^4 = x;

x (x^3 - 1) = 0;

x^3 = 1; x1 = 0;

x2 = 1^ (1 / 3) = 1, подставим в первое уравнение системы:

y1 = x^2 = (1) ^2 = 1; y2 = 0;

Точки перегиба (1; 1) и (0; 0);

z1 = 1^3 + 1^3 - 3 * 1 * 1 = 1 + 1 - 3 = - 1;

z2 = 0;

Ответ: (1; 1; - 1) и (0; 0; 0).