Если число сторон выпуклого многоугольника удвоить, то число его диагоналей увеличится на 30. Найдите число сторон этого многоугольника.

1. Число диагоналей многоугольника определяется по формуле:

N = n (n - 3) / 2, n - число сторон многоугольника.

2. Удвоим число сторон. Подставим в формулу вместо n значение 2n.

2n (2n - 3) / 2 = 30 + N;

2n (2n - 3) / 2 = 30 + n (n - 3) / 2; (умножим обе части на 2)

2n (2n - 3) = 60 + n (n - 3);

4n^2 - 6n = 60 + n^2 - 3n;

3n^2 - 3n - 60 = 0;

n^2 - n - 20 = 0;

3. Воспользуемся теоремой Виета: если x^2 + px + q = 0 - приведенное квадратное уравнение, m и n - его корни, то m + n = - p, m * n = q.

n₁ + n₂ = 1;

n₁ * n₂ = - 20;

n₁ = 5;

n₂ = - 4;

Число сторон не может быть отрицательным числом, поэтому корень n₂ = - 4 отбрасываем.

Ответ: 5 сторон.