5. Дано: А (3; 5; 4), B (4; 6; 5), C (6; -2; 1), D (5; -3; 0). Доказать, что ABCD - параллелограмм.

Question

Матвей Андреев

Математика

1 ноября, 13:08

5. Дано: А (3; 5; 4), B (4; 6; 5), C (6; -2; 1), D (5; -3; 0). Доказать, что ABCD - параллелограмм.

+4

Ответы (1)

Знаешь ответ на этот вопрос?

Эмма Волошина · Answer 1

Дано: А (3; 5; 4), B (4; 6; 5), C (6; -2; 1), D (5; -3; 0).

Доказать, что ABCD - параллелограмм.

Вычислим длины отрезков по их координатам начала и конца.

|AB| = √ ((4 - 3) ² + (6 - 5) ² + (5 - 4) ²) = √ (1² + 1² + 1²) = √3.

|BC| = √ ((6 - 4) ² + (-2 - 6) ² + (1 - 5) ²) = √ (2² + (-8) ² + (-4) ²) = √84.

|CD| = √ ((5 - 6) ² + (-3 - (-2)) ² + (0 - 1) ²) = √ ((-1) ² + (-1) ² + (-1) ²) = √3.

|DA| = √ ((3 - 5) ² + (5 - (-3)) ² + (4 - 0) ²) = √ ((-2) ² + 8² + 4²) = √84.

Длины сторон |AB| = |CD|, |BC| = |DA|

Найдем углы. α = (AB ^AD), α - угол между векторами АВ и AD. cosα = (AB*AD) / (|AB|*|AD|).

Найдем координаты векторов: AB{4 - 3; 6 - 5; 5 - 4}, AB{1; 1; 1}, AD{3 - 5; 5 - (-3); 4 - 0}, AD{-2; 8; 4}.

Скалярное произведение. AB * AD = 1 * (-2) + 1 * 8 + 1 * 4 = - 2 + 8 + 4 = 12.

cosα = 12 / (√3 * √84), cosα ≠ 0, ⇒ α ≠ 90°.

Вывод: ABCD - параллелограмм.