4 р+5/4 р²-1 + р+1/р-2 р² = 3 р/2 р²+рНайти корни уравнения

В задании дано уравнение (4 * р + 5) / (4 * р² - 1) + (р + 1) / (р - 2 * р²) = (3 * р) / (2 * р² + р). По требованию задания, найдём корни данного уравнения. Прежде всего, предположим, что все 3 дроби, которые участвуют в составе данного уравнения, имеют смысл, то есть, выполняются неравенства 4 * р² - 1 ≠ 0, р - 2 * р² ≠ 0 и 2 * р² + р ≠ 0. Рассмотрим каждое неравенство по отдельности. А) Используя формулу сокращенного умножения (a - b) * (a + b) = a² - b² (разность квадратов), имеем: (2 * р - 1) * (2 * р + 1) ≠ 0, откуда р ≠ ½ и р ≠ - ½. Б) Второе неравенство перепишем в виде р * (1 - 2 * р) ≠ 0, откуда р ≠ 0 и и р ≠ ½. В) Аналогично, получаем р * (2 * р + 1) ≠ 0, откуда р ≠ 0 и и р ≠ - ½. Таким образом, областью допустимых значений переменной р данного уравнения является следующее объединение М = (-∞; - ½) ∪ (-½; 0) ∪ (0; ½) ∪ (½; + ∞). Теперь приступим к решению данного уравнения. Вначале умножим его обе части на р * (2 * р + 1) * (2 * р - 1) ≠ 0. Тогда, получим: р * (4 * р + 5) + (р + 1) * (-1) * (2 * р + 1) = (3 * р) * (2 * р - 1), а после упрощения, 4 * р² - 5 * р + 1 = 0. Решим это квадратное уравнение. Для чего, сначала, найдем его дискриминант: D = (-5) ² - 4 * 4 * 1 = 25 - 16 = 9. Так как дискриминант больше нуля, то квадратное уравнение имеет два действительных корня. Вычислим их: x₁ = (5 - √ (9)) / (2 * 4) = (5 - 3) / 8 = ¼ и x₂ = (5 + √ (9)) / (2 * 4) = (5 + 3) / 8 = 1. Поскольку x₁ = ¼ ∈ М и x₂ = 1 ∈ М, то корнями данного уравнения являются х = ¼ и х = 1.

Ответ: х = ¼ и х = 1.