Существует ли такое натуральное число, которое при делении на 8 даёт остаток 1, а при делении на 12 даёт остаток 3?

Покажем, что такого быть не может.

Воспользуемся методом доказательства от противного.

Предположим, что существует такое натуральное число а, которое при делении на 8 даёт остаток 1, а при делении на 12 даёт остаток 3.

Если число а при делении на 8 даёт остаток 1, то число а можно представить в виде:

а = 8 * n + 1,

где n - некоторое целое число.

Если а при делении на 13 даёт остаток 3, то число а можно представить в виде:

а = 12 * k + 3,

где k - некоторое целое число.

В таком случае должно выполняться равенство:

8 * n + 1 = 12 * k + 3.

Преобразуем полученное соотношение:

8 * n - 12 * k = 3 - 1;

8 * n - 12 * k = 2;

2 * (4 * n - 6 * k) = 2:

4 * n - 6 * k = 2 / 2;

4 * n - 6 * k = 1;

2 * (2 * n - 3 * k) = 1.

Поскольку n и k это целые числа, то слева в полученном соотношении стоит четное число, а справа нечетное.

Мы пришли к противоречию, следовательно, натуральное число, которое при делении на 8 даёт остаток 1, а при делении на 12 даёт остаток 3, не существует.