Скорость движения материальной точки задается формулой v=t^2-t+1 м/с. Найти путь, пройденный точкой за первые 4 с от начала движения.

Т. к. движение неравномерное, напрямую узнать перемещение по скорости мы не можем, не зная закона, по которому изменяется путь по времени.

Чтобы найти этот закон, находим первообразную скорости по времени, т. е.:

s (t) = F (v (t)) = t³ / 3 - t² / 2 + t + C.

Вычислить перемещение значит найти разность первообразных (определённый интеграл) s (4) - s (0):

s (4) = 64 / 3 - 16 / 2 + 4 + C = 52 / 3 + C.

s (0) = C.

s (4) - s (0) = 52 / 3 + C - C = 52 / 3 м.

Ответ: точка прошла 52 / 3 м.