Пятый член геометрической прогрессии больше четвертого на 168, а сумма третьего и четвертого членов равна - 28. Найти первый член и знаменатель прогрессии.

Воспользуемся формулой n - ого члена геометрической.

b_n = b₁ * q^n-1.

Тогда по условию:

b₅ - b₄ = 168.

b₃ + b₄ = - 28.

Сложим два равенства.

b₅ + b₃ = 140.

b₁ * q⁴ + b₁ * q² = 140.

b₁ * q² * (q² + 1) = 140. (1)

b₁ * q² + b₁ * q³ = - 28.

b₁ * q² * (q + 1) = - 28. (2).

Разделим равенство (1) на равенство (2).

(q² + 1) / (q + 1) = - 5.

q² + 1 = - 5 * q - 5.

q² + 5 * q + 6 = 0.

Решим квадратное уравнение.

D = b² - 4 * a * c = 5² - 4 * 1 * 6 = 25 - 24 = 1.

q₁ = (-5 - √1) / (2 * 1) = (-5 - 1) / 2 = - 6 / 2 = - 3.

q₂ = (-5 + √1) / (2 * 1) = (-5 + 1) / 2 = - 4 / 2 = - 2.

b₁ = - 28 / (q² * (q + 1)).

Если q = - 3, то

b₁ = - 28 / (-3² * (-3 + 1)) = - 28 / (-18) = 14 / 9.

Если q = - 2, то

b₁ = - 28 / (-2² * (-2 + 1)) = - 28 / (-4) = 7.

Ответ: Если q = - 3, то b₁ = 14 / 9.

Если q = - 2, то b₁ = 7.