Докажите тождество sin4a+2cos3a-sin2a/cos4a-2 sin 3L-cos2L=-ctg3L

Для решения данного задания нужны некоторые формулы преобразования тригонометрических функций.

Формулы преобразования суммы и разности тригонометрических функций sinα + sinβ = 2sin (α + β) / 2 * cos (α - β) / 2; sinα - sinβ = 2sin (α - β) / 2 * cos (α + β) / 2; cosα + cosβ = 2cos (α + β) / 2 * cos (α - β) / 2; cosα - cosβ = - 2sin (α + β) / 2 * sin (α - β) / 2.

Так же нужно знать, что cosα/sinα = ctgα.

Преобразуем выражение

(sin4α + 2cos3α - sin2α) / (cos4α - 2sin3α - cos2α) = - ctg3α

1) Поменяем местами некоторые слагаемые для удобства расчетов.

(sin4α - sin2α + 2cos3α) / (cos4α - cos2α - 2sin3α) = - ctg3α

2) Преобразуем разность sin4α - sin2α в произведение по формуле sinα - sinβ = 2sin (α - β) / 2 * cos (α + β) / 2.

Получается sin4α - sin2α = 2sin (4α - 2α) / 2 * cos (4α + 2α) / 2 = 2sin (2α) / 2 * cos (6α) / 2 = 2sinα * cos3α.

3) Преобразуем выражение cos4α - cos2α по формуле cosα - cosβ = - 2sin (α + β) / 2 * sin (α - β) / 2.

cos4α - cos2α = - 2sin (4α + 2α) / 2 * sin (4α - 2α) / 2 = - 2sin (6α) / 2 * sin (2α) / 2 = - 2sin3α * sinα.

4) Наше выражение приобрело вид

(2sinα * cos3α + 2cos3α) / ( - 2sin3α * sinα - 2sin3α) = - ctg3α

5) Вынесем за скобку общие множители: в числителе это (2cos3α), а в знаменателе ( - 2sin3α).

2cos3α (sinα + 1) / ( - 2sin3α) (sinα + 1) = - ctg3α

6) Число 2 и скобка (sinα + 1) сократится, а минус можно перенести перед всей дробью, остается выражение

- cos3α/sin3α = - ctg3α

7) А так как cosα/sinα = ctgα, то cos3α/sin3α = ctg3α.

Отсюда следует, что - cos3α/sin3α = - ctg3α (верное равенство).

Для того чтобы доказать данное тождество вспомним формулы суммы тригонометрических функций и представления из как произведения, а именно нам понадобится sin a - sin b = 2sin (a - b) / 2 * cos (a + b) / 2 и cos a - cos b = 2sin (a + b) / 2 * sin (b - a) / 2. В нашем тождестве расмотрим левую часть и докажем ее равенство правой:

(sin4a + 2cos3a - sin2a) / (cos4a - 2 sin 3 а - cos2 а) = (2sin a * cos 3a + 2cos3a) / (( - 2) sin 3a * sin a - 2 sin 3 а) = (2cos3a) (sin a + 1) / ( - 2 sin 3 а) (sin a + 1) = 2cos3a / - 2 sin 3 а = - ctg3a;

- ctg3a = - ctg3a;

Доказано.