Разложите на множители 1.) x^4+x^2a^2+a^4 2.) xy^2-2xy+3x+2y^2-4y+6 3.) n^3+3n^2+2n

Решение:

Сделаем следующие преобразования:

x⁴ + x²a² + a⁴ = x⁴ + x²a² + a⁴ + x²a² - x²a² = x⁴ + 2x²a² + a⁴ - x²a² = (x² + a²) ² - (xa) ².

Для разложения на множители воспользуемся формулой а² - b² = (a + b) (a - b):

(x² + a²) ² - (xa) ² = (x² + a² - xa) (x² + a² + xa).

Ответ: x⁴ + x²a² + a⁴ = (x² + a² - xa) (x² + a² + xa).

Объединив слагаемые, вынесем общие множители х и 2 за скобки:

xy² - 2xy + 3x + 2y² - 4y + 6 = x (y² - 2y + 3) + 2 (y² - 2y + 3).

Общий множитель (y² - 2y + 3) вынесем за скобку:

(y² - 2y + 3) (х + 2).

Найдём корни квадратного уравнения:

y² - 2y + 3 = 0;

D = a² - 4ac = 4 - 12 корней нет.

Ответ: xy² - 2xy + 3x + 2y² - 4y + 6 = (х + 2) (y² - 2y + 3).

Выносим общий множитель n за скобку:

n³ + 3n² + 2n = n (n² + 3n + 2).

Решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета:

n² + 3n + 2 = 0;

n₁ + n₂ = - 3;

n₁ · n₂ = 2 = > n_{1 =} - 2 и n₂ = - 1;

n (n² + 3n + 2) = n (n + 2) (n + 1).

Ответ: n³ + 3n² + 2n = n (n + 2) (n + 1).