Найдите координаты точки, через которую проходят графики функций у=кх+3 к+1 при любых значениях параметра к

Если через точку проходят несколько графиков функций, то координаты этой точки равны значениям х и у этих функций.

Дана функция у = kх + 3k + 1.

Координаты точки не зависит от параметра k

Поэтому, мы можем поставить вместо k другое число, отличное от k. Например, возьмем число, большее k на 2.

То есть вместо параметра k подставляем (k + 2).

Получается уравнение функции у₁ = (k + 2) х + 3 (k + 2) + 1.

Так как эти две функции у = kх + 3k + 1 и у₁ = (k + 2) х + 3 (k + 2) + 1 проходят через одну точку, то координаты х и у в этой точке у них равны. Приравняем координату у.

у = у₁

kх + 3k + 1 = (k + 2) х + 3 (k + 2) + 1

Найдем координату х Раскроем скобки: kх + 3k + 1 = kх + 2 х + 3k + 6 + 1; отсюда: kх + 3k + 1 = kх + 2 х + 3k + 7; перенесем буквенные выражения в левую часть, а числа - в правую: kх + 3k - kх - 2 х - 3k = 7 - 1; подведем подобные члены: - 2 х = 6; делим уравнение на ( - 2) : х = - 3.

Мы нашли координату х, найдем координату у, подставив значение х = - 3 в уравнение любой из функций.

у = kх + 3k + 1

у = k * (-3) + 3k + 1 = - 3k + 3k + 1 = 1

Координаты точки пересечения графиков ( - 3; 1).

Можно подставить вместо (k + 2) любое число, отличное от k, например (k - 5), результат будет тот же.

Проверим это: kх + 3k + 1 = (k - 5) х + 3 (k - 5) + 1

kх + 3k + 1 = kх - 5 х + 3k - 15 + 1

kх + 3k + 1 = kх - 5 х + 3k - 14

kх + 3k - kх + 5 х - 3k = - 1 - 14

5 х = - 15

х = - 3

Координата х так же равняется ( - 3). Если подставить это значение в уравнение функции, то так же получим координату у = 1.

Ответ: точка пересечения графиков имеет координаты ( - 3; 1).

Перепишем функцию в виде:

у = к * (х + 3) + 1.

Если к не должно влиять на результат, то оно должно "пропасть", "исчезнуть". В математике это легко сделать умножение на ноль, значит:

х + 3 = 0,

х = - 3.

у (-3) = к * (3 - 3) + 1 = к * 0 + 1 = 1.

При любом значении к график пройдет через точку (-3; 1).