Найдите наибольшее значение функции f (x) = корень из х / x + 1

Имеем функцию:

f (x) = x^ (1/2) / (x + 1).

Для нахождения максимального значения функции найдем производную:

f' (x) = (1/2 * x^ (-1/2) * (x + 1) - x^ (1/2)) / (x + 1) ^2 = 1 / ((x + 1) ^2 * 2 * x^ (1/2)) * (x + 1 - 2 * x) = 1 / ((x + 1) ^2 * 2 * x^ (1/2)) * (1 - x).

Находим критическую точку:

1 - x = 0;

x = 1;

Если x < 1, то функция возрастает (производная положительна).

Если x > 1, то функция убывает (производная отрицательна).

x = 1 - точка максимума функции.

Находим значение от точки максимума:

f (1) = 1/2.