Сумма второго и шестого членов возрастающей арифметической прогрессии равна 14, а произведение третьего и пятого членов равно 45. Найдите первый член этой прогрессии.

Обозначим разность данной арифметической прогрессии буквой х, а первый член прогрессии буквой а.

Тогда по условию задачи можем составить следующие уравнения:

1.

(а + х) + (а + 5 * х) = 14,

2 * а + 6 * х = 14,

2 * а = 14 - 6 * х,

а = 7 - 3 * х.

2. (а + 2 * х) * (а + 4 * х) = 45.

Подставим в это уравнение значение а, полученное из первого уравнения:

(7 - 3 * х + 2 * х) * (7 - 3 * х + 4 * х) = 45,

(7 - х) * (7 + х) = 45,

49 - х² = 45,

х² = 4,

х = 2.

Так как прогрессия возрастающая х не может быть отрицательным.

Таким образом, первый член данной прогрессии равна:

а = 7 - 3 * 2 = 1.

Ответ: а = 1.