5. Найти наибольшее и наименьшее значение функции у = (х+3) 4 - 4 на отрезке [-4; 1 ]

Найдем производную функции:

у = (х + 3) ⁴ - 4.

у' = 4 (х + 3) ³.

Найдем нули производной:

у' = 0; 4 (х + 3) ³ = 0.

х + 3 = 0; х = - 3.

Определим знаки производной на каждом промежутке:

(-∞; - 3) пусть х = - 4; у' = 4 (х + 3) ³ = 4 (-4 + 3) ³ = - 4. Производная отрицательна, функция убывает.

(-3; + ∞) пусть х = 0; у' = 4 (х + 3) ³ = 4 (0 + 3) ³ = 108. Производная положительна, функция возрастает.

Значит, х = - 3 - это точка минимума, она входит в промежуток [-4; 1]. Точкой максимума на данном промежутке будет х = 1.

х_min = - 3; y_min = (-3 + 3) ⁴ - 4 = - 4.

x_max = 1; y_max = (1 + 3) ⁴ - 4 = 256 - 4 = 252.

Ответ: наименьшее значение функции на промежутке [-4; 1] равно - 4, наибольшее равно 252.