Чему равно наибольшее значение sin^2 (x) + 2 cos^2 (x)

1. Обозначим тригонометрическое выражение:

f (x) = sin^2x + 2cos^2x.

2. Для синуса и косинуса известно, что сумма квадратов равна 1:

f (x) = sin^2x + cos^2x + cos^2x; f (x) = 1 + cos^2x.

3. Косинус принимает значения на промежутке [-1; 1]:

-1 ≤ cosx ≤ 1, или 0 ≤ |cosx| ≤ 1. (1)

4. Возведем в квадрат двойное неравенство (1) и прибавим единицу:

0 ≤ cos^2x ≤ 1; 1 ≤ 1 + cos^2x ≤ 2; 1 ≤ f (x) ≤ 2.

5. Наибольшее значение функции f (x) равно 2, которое достигается в точках:

cosx = ±1; x = πk, k ∈ Z.

Ответ: 2.