Вычислите площадь параллелограмма abcd если ab 7 bc 3 и угол между его диагоналями составляет 30 градусов

В задании дан параллелограмм ABCD, у которого AB = 7, BC = 3 и угол между его диагоналями составляет 30°. По требованию задания, вычислим площадь данного параллелограмма. Решим задачу для общего случая. Пусть дан параллелограмм со сторонами а и b, а угол между его диагоналями равен 0° < α < 90° (то есть, в дальнейших исследованиях, ромб исключаем из рассмотрения). Не умаляя общности, будем считать, что а < b. Найдём формулу вычисления площади S данного параллелограмма. Воспользуемся формулой вычисления площади параллелограмма по диагоналям d₁, d₂ и углу между α ними: S = (½) * d₁ * d₂ * sinα. Как известно, диагонали параллелограмма пересекаются и делятся пополам. При этом, параллелограмм делится на две пары равных треугольников. Если один из углов между диагоналями равен α, то вертикальный угол также равен α, а каждый из двух смежных углов равен 180° - α. Согласно теореме косинусов, для каждой пары треугольников с одной общей стороной, справедливы равенства: a² = (d₁ / 2) ² + (d₂ / 2) ² - 2 * (d₁ / 2) * (d₂ / 2) * cosα и b² = (d₁ / 2) ² + (d₂ / 2) ² - 2 * (d₁ / 2) * (d₂ / 2) * cos (180° - α). Учитывая формулу приведения cos (180° - α) = - cosα и упрощая эти равенства, перепишем их в виде 4 * a² = (d₁) ² + (d₂) ² - 2 * d₁ * d₂ * cosα и 4 * b² = (d₁) ² + (d₂) ² + 2 * d₁ * d₂ * cosα. Выполним алгебраическое сложение этих равенств, предварительно умножив обе части первого уравнения на - 1. Тогда, получим: 4 * b² - 4 * a² = 4 * d₁ * d₂ * cosα, откуда d₁ * d₂ = (b² - a²) / cosα. Подставим это в последнее равенство п. 2 и учтём формулу tgα = sinα / cosα. Имеем: S = (½) * ((b² - a²) / cosα) * sinα = (½) * (b² - a²) * tgα, то есть, S = (½) * (b² - a²) * tgα. Возвратимся к данным задания и вычислим S = (½) * (7² - 3²) * tg30° = (½) * (49 - 9) * (√ (3) / 3) = 20√ (3) / 3.

Ответ: 20√ (3) / 3.