Нужно решить тригонометрическое уравнение: tg (px) + tg (qx) = 0

Воспользуемся формулой сложения тангенсов:

tg (a) + tg (b) = sin (a + b) / (cos (a) * cos (b)).

В рассматриваемом случае имеем:

a = px, b = qx. Тогда

sin (px + qx) / (cos (px) * cos (qx)) = 0.

Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю, т. е.

sin (px + qx) = 0 при cos (px) * cos (qx) ≠ 0.

1) Решим уравнение sin (px + qx) = 0:

px + qx = пn, где n - целое число;

(p + q) * x = пn, где n - целое число;

x = пn / (p + q), где n - целое число.

2) Найдем значения x, при которых знаменатель равен нулю. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из его множителей равен нулю:

а) cos (px) = 0;

px = п/2 + пn, где n - целое число;

x = п / (2p) + пn/p, где n - целое число.

б) cos (qx) = 0;

qx = п/2 + пn, где n - целое число;

x = п / (2q) + пn/q, где n - целое число.

3) Ни при одном найденном в пп. а и б значениях x они не равны решению, найденному в п. 1. Поэтому решением уравнения является

x = пn / (p + q), где n - целое число.