Решить уравнение tgx/3-5ctgx/3=4

Используя определения котангенса, получим:

tg (x/3) - 5/tg (x/3) = 4.

Произведем замену переменных t = tg (x/3):

t - 5/t = 4;

t^2 - 5 = 4t;

t^2 - 4t - 5 = 0.

Корни квадратного уравнения вида ax^2 + bx + c = 0 определяются

по формуле: x12 = (-b + - √ (b^2 - 4 * a * c) / 2 * a.

t12 = (4 + - √ (16 - 4 * 1 * (-5)) / 2 * 1 = (4 + - 6) / 2;

t1 = (4 - 6) / 2 = - 1; t2 = (4 + 6) / 2 = 5.

Обратная замена:

tg (x/3) = - 1.

x/3 = arctg (-1) + - π * n, где n натуральное число;

x1 = 3arctg (-1) + - π * n;

x2 = 3arctg (5) + - π * n.