2. a, b, c - такие три числа, что a + b + c = 0. Доказать, что в этом случае справедливо соотношение ab + ac + bc ≤ 0.

a + b + c = 0, следовательно, a = - (b + c).

Следовательно, ab + ac + bc = - (b + c) * b - (b + c) * c + bc =

= - b² - cb - c² - bc + bc = - b² - c² - bc.

Рассмотрим три случая.

1) b ≥ 0 и с ≥0.

В этом случае - b² ≤ 0, c² ≤ 0 и - bc ≤ 0, следовательно, - b² - c² - bc ≤ 0.

2) b ≤ 0 и с ≤ 0.

В этом случае - b² ≤ 0, c² ≤ 0 и - bc ≤ 0, следовательно, - b² - c² - bc ≤ 0.

3) b ≥ 0, а с ≤ 0 либо b ≤ 0, а с ≥ 0.

В этом случае - b² ≤ 0, c² ≤ 0, а - bc ≥ 0.

Но при этом если |b| ≥ |c|, то b² ≥ |bc|, значит, - b² - bc ≤ 0, следовательно - b² - c² - bc ≤ 0.

Если же |b| ≤ |c|, то c² ≥ |bc|, значит, - c² - bc ≤ 0, а, следовательно, - b² - c² - bc ≤ 0.

То есть для всех трех возможных случаев - b² - c² - bc ≤ 0, а это значит, что ab + ac + bc ≤ 0.