Решите уравнение cos2x=3sinx-1

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла. Получим:

cos 2x = cos²x - sin²x = 1 - sin² x - sin² x = 1 - 2sin² x.

Отсюда: 1 - 2sin² x = 3sin x - 1, что равносильно:

2sin² x + 3sin x - 2 = 0.

Дискриминант этого уравнения равен:

D = 3² - 4 * 2 * (-2) = 9 + 16 = 25.

Следовательно, sin x = (-3 + √25) / (2 * 2) = (-3 + 5) / 4 = 2 / 4 = 1/2.

Либо sin x = (-3 - √25) / (2 * 2) = (-3 - 5) / 4 = - 8 / 4 = - 2 < - 1, следовательно, в этом случае корней нет.

Тогда sin x = 1/2, значит x = (-1) ^k * arcsin (1/2) + пи * k, где k - целое.

x = (-1) ^k * arcsin (1/2) + пи * k, где k - целое.

x = (-1) ^k * пи/6 + пи * k, k ∈ Z.

Ответ: x = (-1) ^k * пи/6 + пи * k, k ∈ Z.