Решить уравнение 2-cos2x+3sinx=0

Нам нужно решить тригонометрическое уравнение 2 - cos 2x + 3sin x = 0.

В этом нам помогут тригонометрические тождества.

Вспомним тригонометрическое тождества, которые мы будем использовать Основное тригонометрическое тождество: 1 = sin² x + cos² x. Формулу косинус двойного угла: cos2x = (сos²x - sin²x). cos² x = 1 - sin² x - выражение из основного тригонометрического тождества. Преобразуем исходное уравнение

Давайте представим число два в виде произведение единицы и двойки, а затем единицу заменим на основное тригонометрическое тождество.

2 - cos 2x + 3sin x = 0;

2 * 1 - cos 2x + 3sin x = 0;

2 * (sin² x + cos² x) - (сos² x - sin² x) + 3sin x = 0;

2sin² x + 2cos² x - сos² x + sin² x + 3sinx = 0;

Приведем подобные слагаемые:

3sin² x + cos² x + 3sin x = 0.

Выразим из основного тригонометрического тождества косинус квадрат:

1 = sin² x + cos² x;

cos² x = 1 - sin² x.

Подставляем в полученное выражение и приводим подобные:

3sin² x + 1 - sin² x + 3sin x = 0.

2sin² x + 3sin x + 1 = 0.

Вводим замену и решаем полное квадратное уравнение

Обозначим с помощью переменной t = sin x.

2t² + 3t + 1 = 0.

D = 9 - 8 = 1.

Для нахождения корней потребуется значение √D = 1.

t₁ = (-3 - 1) / 4 = - 4/4 = - 1.

t₂ = (-3 + 1) / 4 = - 2/4 = - 1/2.

Остается только вернуться к замене и найти значение переменной x.

Так как sin x = t.

t = - 1;

Решаем простейшее тригонометрическое уравнение:

sin x = - 1;

х = - π/2 + 2πn, n - целое число.

t = - 1/2;

sin x = - 1/2;

х = - π/6 + 2πn, n - целое число.

x = - 5π/6 + 2πn, n - целое число.

Ответ: x = - π/2 + 2πn; x = - π/6 + 2πn; x = - 5π/6 + 2πn, n - целое число.

Представим 2 как 2 * 1, а 1 = sin²a + cos²а. Косинус двойного угла cos2x = (сos²x - sin²x).

2 - cos2x + 3sinx = 0.

2 (sin²a + cos²а) - (сos²x - sin²x) + 3sinx = 0;

2sin²a + 2cos²а - сos²x + sin²x + 3sinx = 0;

3sin²a + cos²а + 3sinx = 0.

Из формулы 1 = sin²a + cos²а выразим cos²а = 1 - sin²a.

3sin²a + 1 - sin²a + 3sinx = 0.

2sin²a + 3sinx + 1 = 0.

Введем новую переменную, пусть sinx = а.

2 а² + 3 а + 1 = 0.

D = 9 - 8 = 1 (√D = 1);

а₁ = (-3 - 1) / 4 = - 4/4 = - 1.

а₂ = (-3 + 1) / 4 = - 2/4 = - 1/2.

Вернемся к замене sinx = а.

а = - 1; sinx = - 1 (частный случай); х = - П/2 + 2 Пn, n - целое число.

а = - 1/2; sinx = - 1/2; х = - П/6 + 2 Пn, n - целое число.

И х = - 5 П/6 + 2 Пn, n - целое число.

Ответ: х = - П/2 + 2 Пn; - П/6 + 2 Пn; - 5 П/6 + 2 Пn, n - целое число.