Дано геометрическая прогрессия (yn) Найти y1, если y5=48, y7=192 (q больше 0)

Дано: (y_n) - геометрическая прогрессия;

y₅ = 48, y₇ = 192;

q > 0;

Найти: y₁ - ?

Формула члена геометрической прогрессии: y_n = y₁ * q^ (n - 1),

где y₁ - первый член геометрической прогрессии, q - её знаменатель, n - количество членов прогрессии.

Запишем с помощью этой формулы пятый и седьмой члены заданной прогрессии:

y₅ = y₁ * q^ (5 - 1) = y₁ * q^4;

y₇ = y₁ * q^ (7 - 1) = y₁ * q^6.

Составим систему уравнений:

y₁ * q^4 = 48, (1)

y₁ * q^6 = 192 (2)

Из (1) уравнения выразим y₁:

y₁ = 48 : q^4;

Полученное выражение подставим во (2) уравнение системы:

48 : q^4 * q^6 = 192;

48 * q^2 = 192;

q^2 = 4;

q = ±2.

Т. к. по условию q > 0, значит, q = 2.

Полученное значение q подставляем в выражение для нахождения y₁:

y₁ = 48 : 2^4;

y ₁ = 48 : 16;

y₁ = 3.

Ответ: y₁ = 3.