Найдите область определения функции f (x) = sqrt (3tg x - tg^2 x - 2)

Все выражение имеет смысл, если выражение под знаком корня не принимает отрицательных значений. Таким образом, имеем неравенство: 3tg (x) - tg² (x) - 2 ≥ 0.

Пусть tg (x) = z, тогда: 3z - z² - 2 ≥ 0, что равносильно z² - 3z + 2 ≤ 0.

Найдем нули функции. D = 3² - 4 * 2 = 9 - 8 = 1

z1 = (3 - √1) / (2 * 1) = (3 - 1) / 2 = 2 / 2 = 1.

z2 = (3 + √1) / (2 * 1) = (3 + 1) / 2 = 4 / 2 = 2.

Найдем знаки функции на промежутках (-∞; 1), [1; 2] и (2; ∞):

при z = 0: 0² - 3 * 0 + 2 = 2 > 0.

при z = 1,5: 1,5² - 3 * 1,5 + 2 = 2,25 - 4,5 + 2 = 4,25 - 4,5 < 0.

при z = 3: 3² - 3 * 3 + 2 = 9 - 9 + 2 = 2 > 0.

То есть неравенство z² - 3z + 2 ≤ 0 справедливо при z ∈ [1; 2], что равносильно 1 ≤ z ≤ 2.

Отсюда имеем 1 ≤ tg (x) ≤ 2.

Воспользовавшись свойством монотонности тангенса на участке от - пи/2 до + пи/2 получаем: arctg (1) ≤ x ≤ arctg (2).

Но так как тангенс - периодическая функция с периодом пи, получаем:

arctg (1) + пи * n ≤ x ≤ arctg (2) + пи * n, где n - целое.

Ответ: x ∈ [arctg (1) + пи * n; arctg (2) + пи * n], где n ∈ Z.