Cos (270+a) Sin^3 (180-a) - Cos (180+a) sin^3 (270-a) / 2SinaSin (90-a)

Используем формулы приведения:

cos (270° + a) = sin (a);

sin (180° - a) = sin (a);

cos (180° + a) = - cos (a);

sin (270° - a) = - cos (a);

sin (90° - a) = cos (a).

Применив их, получим:

(cos (270° + a) * (sin (180° - a)) ^3 - cos (180° + a) * (sin (270° - a)) ^3) / (2 * sin (a) * sin (90° - a)) = (sin (a) * (sin (a)) ^3 - ( - cos (a)) * ( - cos (a)) ^3) / (2 * sin (a) * cos (a)) = ((sin (a)) ^4 + cos (a) * ( - (cos (a)) ^3) / (2 * sin (a) * cos (a)) = ((sin (a)) ^4 - (cos (a)) ^4) / (2 * sin (a) * cos (a)).

Воспользуемся формулой разности квадратов a^2 - b^2 = (a - b) * (a + b), формулой косинуса двойного угла cos (2 * x) = (cos (x)) ^2 - (sin (x)) ^2, синуса двойного угла sin (2 * x) = 2 * sin (x) * cos (x) и основного тригонометрического тождества (sin (x)) ^2 + (cos (x)) ^2 = 1. Тогда получим:

((sin (a)) ^4 - (cos (a)) ^4) / (2 * sin (a) * cos (a)) = (((sin (a)) ^2 - (cos (a)) ^2) * ((sin (a)) ^2 + (cos (a)) ^2)) / sin (2 * a) = (((sin (a)) ^2 - (cos (a)) ^2) * 1) / sin (2 * a) = - ((cos (a)) ^2 - (sin (a)) ^2) / sin (2 * a) = - cos (2 * a) / sin (2 * a).

Так как ctg (x) = cos (x) / sin (x), то:

- cos (2 * a) / sin (2 * a) = - ctg (2 * a).