Найти все корни многочлена ax^3+x^2-8x-12, если один из них равен 3

Если один корень равен 3, то значение кубического многочлена будет равен 0. Подставим вместо х число 3 и найдем значение а.

ax³ + x² - 8x - 12 = 0.

a * 3³ + 3² - 8 * 3 - 12 = 0.

27 а + 9 - 24 - 12 = 0.

27 а - 27 = 0.

27 а = 27.

а = 1.

Значит, многочлен имеет вид x³ + x² - 8x - 12. Разложим его на множители. Если один из корней равен 3, то первый множитель будет равен (х - 3).

Поделим (x³ + x² - 8x - 12) на (х - 3), получится (х² + 4 х + 4).

Значит, x³ + x² - 8x - 12 = (х - 3) (х² + 4 х + 4).

Вторую скобку можно свернуть по формуле квадрата суммы.

x³ + x² - 8x - 12 = (х - 3) (х + 2) ².

Значит, корни многочлена равны 3 и - 2.