Найди число которое при делении на любое двухзначное чисто даёт в остатке 9

1. Очевидно, само число 9 удовлетворяет условию задачи.

2. Но это далеко не единственное решение. Пусть число x при делении на любое число от 10 до 99 дает в остатке 9. Тогда число x - 9 делится на каждое из них, следовательно, кратно их наименьшему общему кратному:

x - 9 = n * k, k ∈ N; x = n * k + 9, где n = НОК (10, ..., 99).

3. Найдем НОК (10, ..., 99). Простые множители и число с наибольшей степенью:

1) 2; 64 = 2^6; 2) 3; 81 = 3^4; 3) 5; 25 = 5^2; 4) 7; 49 = 7^2. 5) Остальные простые множители только в первой степени: 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; 43; 47; 53; 59; 61; 67; 71; 73; 79; 83; 89; 97.

4. Перемножив числа 64, 81, 25 и 49 с этими простыми числами, получим НОК (10, ..., 99).

Ответ: 9; НОК (10, ..., 99) k + 9, k ∈ N.