Найдите наименьшее значение функции у = 4^x^2+6x+11

1. Вычислим производную функции и найдем критическую точку:

у = 4x^2 + 6x + 11;

y' = 8x + 6;

8x + 6 = 0;

8x = - 6;

x = - 6/8 = - 3/4, критическая точка.

2. Знаки производной в промежутках:

a) x ∈ (-∞; - 3/4);

y' (-1) = 8 * (-1) + 6 = - 8 + 6 = - 2 < 0, функция убывает;

b) x ∈ (-3/4; ∞);

y' (0) = 8 * 0 + 6 = 6 > 0, функция возрастает.

В точке x = - 3/4 функция от убывания переходит к возрастанию, значит, эта точка минимума, в которой функция принимает наименьшее значение:

y (min) = y (-3/4) = 4 * (-3/4) ^2 + 6 * (-3/4) + 11 = 4 * 9/16 - 18/4 + 11 = 9/4 - 9/2 + 11 = 44/4 - 9/4 = 35/4.

Ответ: 35/4.