Существует ли двузначное число, которое при делении на 3 дает остаток 2, приделении на 5 - 4 и приделении на 7 - остаток 3

Составим ряд из всех двузначных чисел, которые при делении на 7 дают в остатке 3:

10, 17, 24, 31, 38, 45, 52, 59, 66, 73, 80, 87, 94.

Среди этих чисел остаток 4 после деления на 5 получается только для:

24, 59, 94.

Среди оставшихся трёх остаток 2 при делении на 3 получаем лишь для 59.

Проверка:

59 = 3*19 + 2,

59 = 5*11 + 4,

59 = 7*8 + 3.

Ответ: 59 - искомое двузначное число.