Биссектрисы смежных углов A и B параллелограмма ABCD пересекает стороны BC и AD в точках M и N соответсвенно. Найдите периметр параллелограмма, если MC=3 м, AN=8 м

Обозначим точку пересечения биссектрис буквой О.

Рассмотрим треугольник АВМ: угол ВМО равен углу ОАN (внутренние накрест лежащие углы при параллельных ВС и АD и секущей АМ), а угол ОАN равен углу ОАВ (АМ - биссектриса), значит угол ВМО равен углу ОАВ. Следовательно треугольник АВМ равнобедренный, и значит, что АВ = ВМ.

ВО будет являться медианой в треугольнике АВМ, значит, АО = МО.

Рассмотрим треугольники ВОМ и NOA:

Угол ОМВ равен углу OAN (внутренние накрест лежащие углы при параллельных ВС и АD и секушей АМ). Угол ВОМ равен углу АОN (вертикальные). АО = МО (см. выше). Следовательно, треугольники равны (по стороне и двум углам).

Значит, ВМ = АN = 8 м. Сторона ВС = ВМ + СМ = 8 + 3 = 11 м.

АВ = ВМ = 8 м.

Вычислим периметр параллелограмма:

Р (АВСD) = 11 + 8 + 11 + 8 = 38 м.

Ответ: периметр параллелограмма равен 38 м.