Биссектрисы смежных углов А и В параллелограмма АВСD пересекают стороны ВС и AD в точках M и N соответственно. Найдите периметр параллелограмма, если МС=3 м, AN=8 м

Рассмотрим треугольник АВМ Угол ВМА равен углу МАД (внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС и АД и секущей АМ); Угол МАД равен углу МАВ (так как АС - биссектриса угла А); Следственно, угол ВМА равен углу МАВ, значит, треугольник АМВ равнобедренный (у равнобедренного треугольника углы при основании равны). Это значит, что АВ = ВМ. Рассмотрим треугольники ВОМ и АОN

(О - точка пересечения АМ и ВN)

угол МВО равен углу АNО (внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС и АД и секущей ВN); угол ВМО равен углу NАО (внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС и АД и секущей АМ); угол ВОМ равен углу АОД (вертикальные углы); Следовательно, треугольник ВОМ равен треугольнику АОN по трем углам.

Из равенства треугольников следует, что ВМ = AN = 8 м (по условию).

ВС = ВМ + МС = 8 + 3 = 11 (м)

АД = ВС = 11 (м), так как у параллелограмма противоположные стороны равны.

АВ = ВМ = 8 (м) (см. выше)

СД = АВ = 8 (м) (противоположные стороны параллелограмма)

Находим периметр параллелограмма

Р = ВС + АД + АВ + СД = 11 + 11 + 8 + 8 = 38 (м)

Известно, что биссектриса угла параллелограмма отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник.

Значит, треугольники АВN и АВМ равнобедренные.

Из треугольника ABN стороны АВ = AN, так как угол ABN = ANB.

Значит, AB = 8 м.

Из треугольника ABM стороны АВ = ВМ, так как угол BAM = BMA.

Значит, BM = 8 м.

В параллелограмме противоположные стороны параллельны и равны.

Значит, ВС = AD, AB = CD = 8 м.

BC = BM + MC = 8 + 3 = 11 м.

Тогда, периметр параллелограмма равен Р = 2 * (AB + BC) = 2 * (8 + 11) = 38 м.