Решите уравнение: log9 по основанию (√2 sinx + sin2x + 9) = 1

Найдем ОДЗ логарифмического уравнения:

log ₉ (√2sin x + sin 2x + 9) = 1;

((√2sin x + sin 2x + 9) > 0;

Преобразуем числовой коэффициент справа в логарифм:

1 = 1 * log ₉ 9 = log ₉ 9;

log ₉ (√2sin x + sin 2x + 9) = log ₉ 9;

Из равенства основания логарифмов следует равносильное равенство:

√2sin x + sin 2x + 9 = 9;

√2sin x + sin 2x = 9 - 9;

√2sin x + sin 2x = 0;

Используем формулу двойного аргумента тригонометрических функций:

sin2x = 2sinxcosx;

Подставим:

√2sinx + 2sinxcosx = 0;

Вынесем общий множитель 2sinx за скобки:

sinx (√2 + 2cosx) = 0;

Произведение равно нулю, в том случае, если один из сомножителей равен нулю.

1) Первое уравнение:

sinx = 0;

Применим частный случай:

х1 = πn, n ∈ Z;

2) Второе уравнение:

√2 + 2cosx = 0;

2cosx = √2;

cosx = √2/2;

x2 = ± arccos (√2/2) + 2πm, m ∈ Z;

х2 = ± π/4 + 2πm, m ∈ Z;

Ответ: х1 = πn, n ∈ Z, х2 = ± π/4 + 2πm, m ∈ Z;