Задача с параметрами: ах^2 - (2 а+6) х+3 а+3=0

Решим квадратное уравнение относительно переменной x.

D = (2a + 6) ² - 4 * a * (3a + 3) = 4a² + 24a + 36 - 12a² - 12a = - 8a² + 12a + 36.

1) Если - 8a² + 12a + 36 < 0, то уравнение решений не имеет. Найдем значения a, при которых решений нет:

-8a² + 12a + 36 < 0;

-2a² + 3a + 9 < 0;

d = 3² - 4 * (-2) * 9 = 9 + 72 = 81;

a1 = (-3 - 9) / (2 * (-2)) = - 12 / (-4) = 3;

a2 = (-3 + 9) / (2 * (-2)) = 6 / (-4) = - 3/2;

-2 * (a - 3) * (a + 3/2) < 0;

а) a - 3 < 0; a < 3; a ∈ (-3/2; 3);

б) a - 3 > 0; a < - 3/2; решений нет.

Таким образом, при a ∈ (-3/2; 3) уравнение корней не имеет.

2) Если - 8a² + 12a + 36 = 0, то уравнение имеет ровно одно решение. Найдем значения a, при которых имеется ровно одно решение:

-8a² + 12a + 36 = 0;

-2 * (a - 3) * (a + 3/2) = 0;

a1 = 3;

a2 = - 3/2.

Таким образом, при a = - 3/2 и a = 3 уравнение имеет ровно один корень. Найдем корни уравнения для двух найденных значений a.

а) При a = - 3/2:

-3/2 * х^2 - (2 * (-3/2) + 6) * х + 3 * (-3/2) + 3 = 0;

-3/2 * х^2 - 3 * х - 3/2 = 0;

х^2 + 2 * х + 1 = 0;

x = - 1.

б) При a = 3:

3 * х^2 - (2 * 3 + 6) * х + 3 * 3 + 3 = 0;

3 * х^2 - 12 * х + 12 = 0;

х^2 - 4 * х + 4 = 0;

x = 2.

3) Если - 8a² + 12a + 36 > 0, то уравнение имеет два различных корня. Найдем значения a, при которых имеется два корня:

-8a² + 12a + 36 > 0;

-2a² + 3a + 9 > 0;

-2 * (a - 3) * (a + 3/2) > 0;

а) a + 3/2 < 0; a < 3; a ∈ (-∞; - 3/2);

б) a - 3 > 0; a > 3; a ∈ (3; + ∞).

Таким образом, при a ∈ (-∞; - 3/2) ∪ (3; + ∞) уравнение имеет два различных корня. Найдем эти корни:

x1 = (2a + 6 - √ (-8a² + 12a + 36)) / (2 * a) = 1 + 3/a - √ (-2a² + 3a + 9)) / a;

x2 = (2a + 6 + √ (-8a² + 12a + 36)) / (2 * a) = 1 + 3/a + √ (-2a² + 3a + 9)) / a.