Решите уравнение: (2x+6) / (x^2+x) - (x-3) / (x^2+3x+2) = 0

1. Чтобы решить уравнение содержащее дробь, найдем общий знаменатель:

(2x + 6) / (x² + x) - (x - 3) / (x² + 3x + 2) = 0;

2. Решим знаменатель второй дроби как квадратное уравнение:

x² + 3x + 2 = 0;

Вычислим дискриминант:

D = b² - 4ac = 3² - 4 * 1 * 2 = 9 - 8 = 1;

D › 0, значит:

х1 = ( - b - √D) / 2a = ( - 3 - √1) / 2 * 1 = ( - 3 - 1) / 2 = - 4 / 2 = - 2;

х2 = ( - b + √D) / 2a = ( - 3 + √1) / 2 * 1 = ( - 3 + 1) / 2 = - 2 / 2 = - 1;

3. Представим квадратное уравнение в виде произведения двух линейных множителей:

ax² + bx + c = а (х - x1) (х - x2);

(х + 2) (х + 1);

4. Вынесем общий множитель в знаменателе первой дроби:

(x^2 + x) = х (х + 1);

5. Подставим преобразованные знаменатели:

(2x + 6) / (х (х + 1)) - (x - 3) / ((х + 2) (х + 1)) = 0;

6. Общий знаменатель - х (х + 2) (х + 1);

(2x + 6) / (х (х + 1)) * х (х + 2) (х + 1) / х (х + 2) (х + 1) = (2 х + 6) (х + 2) / х (х + 2) (х + 1);

(х - 3) / (х + 2) (х + 1) * х (х + 2) (х + 1) / х (х + 2) (х + 1) = х (х - 3) / х (х + 2) (х + 1);

((2 х + 6) (х + 2) - х (х - 3)) / х (х + 2) (х + 1) = 0;

7. Найдем ОДЗ:

х (х + 2) (х + 1) ≠ 0;

х1 ≠ 0;

х + 2 ≠ 0;

х2 ≠ - 2;

х + 1 ≠ 0;

х3 ≠ - 1;

8. Дробь равна нулю, если числитель равен нулю:

(2 х + 6) (х + 2) - х (х - 3) = 0;

2x² + 4x + 6x + 12 - x² + 3x = 0;

x² + 13x + 12 = 0;

Вычислим дискриминант:

D = b² - 4ac = 13² - 4 * 1 * 12 = 169 - 48 = 121;

D › 0, значит:

х1 = ( - b - √D) / 2a = ( - 13 - √121) / 2 * 1 = ( - 13 - 11) / 2 = - 24 / 2 = - 12;

х2 = ( - b + √D) / 2a = ( - 13 + √121) / 2 * 1 = ( - 13 + 11) / 2 = - 2 / 2 = - 1;

Ответ: х1 = - 12, х2 = - 1.