Докажите тождество sin в 4 степени альфа+2*sin альфа*cos альфа-cos в 4 степени альфа:tg 2 альфа-1=cos 2 альфа

Прежде всего, предположим, что рассматриваются такие углы α, для которых данное равенство имеет смысл. Левую часть равенства (sin⁴α + 2 * sinα * cosα - cos⁴α) : (tg (2 * α) - 1) = cos (2 * α) обозначим через Т. Используя формулу сокращенного умножения (a - b) * (a + b) = a² - b² (разность квадратов) преобразуем sin⁴α - cos⁴α = (sin²α) ² - (cos²α) ² = (sin²α - cos²α) ^* (sin²α + cos²α). Если учесть, что sin (2 * α) = 2 * sinα * cosα (синус двойного угла), cos (2 * α) = cos²α - sin²α (косинус двойного угла) и sin²α + cos²α = 1 (основное тригонометрическое тождество), то числитель дроби Т примет вид: (sin²α - cos²α) ^* (sin²α + cos²α) + 2 * sinα * cosα = - cos (2 * α) * 1 + sin (2 * α) = sin (2 * α) - cos (2 * α). Для знаменателя дроби Т применим формулу tgα = sinα / cosα и вычислим: tg (2 * α) - 1 = sin (2 * α) / cos (2 * α) - 1 = (sin (2 * α) - cos (2 * α)) / cos (2 * α). Итак, левая часть доказываемого равенства равна Т = (sin (2 * α) - cos (2 * α)) : [ (sin (2 * α) - cos (2 * α)) / cos (2 * α) ] = [ (sin (2 * α) - cos (2 * α)) * cos (2 * α) ] : (sin (2 * α) - cos (2 * α)). Сокращая эту дробь на (sin (2 * α) - cos (2 * α)), имеем: Т = cos (2 * α). Что и требовалось доказать.