Найти площадь треугольника с вершинами A (-3; -2; -4), B (-1; -4; -7), C (1; -2; 2)

Найдем площадь указанного треугольника, воспользовавшись формулой нахождения площади по трем сторонам:

S = √[p * (p - a) * (p - b) * (p - c) ], где p = (a + b + c) / 2.

Для этого найдем длины сторон исходя из известных координат:

a = AB = √[ (Ax - Bx) ² + (Ay - By) ² + (Az - Bz) ²] =

=√[ (-3 - (-1)) ² + (-2 - (-4)) ² + (-4 - (-7)) ²] = √[ (-2) ² + 2² + 3²] = √ (4 + 4 + 9) = √17.

b = BC = √[ (-1 - 1) ² + (-4 - (-2)) ² + (-7 - 2) ²] = √[ (-2) ² + (-2) ² + (-9) ²] = √ (4 + 4 + 81) = √89.

c = AC = √[ (-3 - 1) ² + (-2 - (-2)) ² + (-4 - 2) ²] = √[ (-4) ² + 0² + (-6) ²] = √ (16 + 36) = √52.

Тогда p * (p - a) * (p - b) * (p - c) равно:

(√17 + √89 + √52) / 2 * (0,5√17 + 0,5√89 + 0,5√52 - √17) * (√17 - √89 + √52) / 2 * (√17 - √89 - √52) / 2 =

= (√17 + √89 + √52) * (-√17 + √89 + √52) * (√17 - √89 + √52) * (√17 + √89 - √52) / 16 =

= ((√52 + √89) ² - √17²) * (√17² - (√89 - √52) ²) / 16 =

= (52 + 89 + 2√52 * √89 - 17) * (17 - 52 - 89 + 2√52 * √89) / 16 =

= (124 + 2√52 * √89) * (-124 + 2√52 * √89) / 16 =

= [ (2√52 * √89) ² - 124²] / 16 = (4 * 52 * 89 - 15376) / 16 = (18512 - 15376) / 16 =

= 3136 / 16 = 196.

Следовательно, площадь треугольника равна:

S = √[p * (p - a) * (p - b) * (p - c) ] = √196 = 14.

Ответ: 14.