Решите иррациональное уравнение:x² + x + 2√ (x² + x) = 0

Для решения уравнения объединим первые два его члена под знак скобок. Получаем:

x² + x + 2√ (x² + x) = 0;

(x² + x) + 2√ (x² + x) = 0.

У нас есть корень √ (x² + x), а значит выражение (x² + x) является не отрицательным, т. е. мы можем первую скобку преобразовать в вид (√ (x² + x)) ².

Получаем уравнение:

(x² + x) + 2√ (x² + x) = 0;

(√ (x² + x)) ² + 2√ (x² + x) = 0.

Вынесем за скобку общий множитель √ (x² + x):

(√ (x² + x)) ² + 2√ (x² + x) = 0;

√ (x² + x) · (√ (x² + x) + 2) = 0.

Второй множитель всегда больше либо равен 2, т. к. корень √ (x² + x) не отрицательный и к нему добавляется положительное число 2. Следовательно, первый множитель должен быть равен 0.

Получаем:

√ (x² + x) = 0;

x² + x = 0;

x² = - x;

x1 = 0;

x2 = - 1.

Ответ: x1 = 0; x2 = - 1.