Определить наименьшее значение фунцкии y = x^{4} - 2 x^{2} + 8 на отрезке [-2; 3]

Найдем производную функции:

y' = (x^4 - 2x^2 + 8) ' = 4x^3 - 4x.

Приравниваем ее к 0 и находим точки экстремума:

4x^3 - 4x = 0;

x^2 * (x - 1) = 0;

x^2 = 0;

x1 = x2 = 0.

x - 1 = 0;

x3 = 1.

Так как в точку x0 = 1 знак производной меняется с положительного на отрицательный, данная функция является точкой минимума. Найдем значение функции в этой точке и на концах заданного отрезка:

y (-2) = (-2) ^4 - 2 * (-2) ^2 + 8 = 16 - 8 + 8 = 16;

y (3) = (-3) ^4 - 2 * (-3) ^2 + 8 = 81 - 18 + 8 = 71;

y (1) = 1^4 - 2 * 1^2 + 8 = 7.

Ответ: 7.