Разложите на множители 1) 6x²y²-6x⁴; 2) - 9m²+9n²; 3) 25c²-1; 4) 242c⁴-2k⁴; 5) 192a³y²-3a; 6) 9k¹²-30k⁶t⁵+25t¹⁰; 7) 3m⁶y+18m³y⁵+27y⁹; 8) d+2cd+c²d; 9) - 1-121a²b²+22ab; 10) d²-b²+d-b; 11) d⁸-d⁶+d²-1; 12) d²-10dk+25k²-t²; 13) p²-m²+14m-49; 14) x²-2ax+a²-n²; 15) 4m²-20mn+25n²-36; 16) (7a²-4b²) ² - (3a²+8b²) ²; 17) (n³+1) ² - (n²+1) ²;

Решение:

Каждое выражение разложим на множители с помощью формулы а² - b² = (a - b) (а + b), при необходимости сначала будем выносить общий множитель за скобку:

1). 6x²y² - 6x⁴ = 6 ((xy) ² - (x²) ²) = 6 (xy - x²) (xy + x²).

2). - 9m² + 9n² = 9 (n² - m²) = 9 (n - m) (n + m).

3). 25c² - 1 = (5c) ² - 1 = (5c - 1) (5c + 1).

4). 242c⁴ - 2k⁴ = 2 ((11c²) ² - (k²) ²) = 2 (11c² - k²) (11c² + k²).

5). 192a³y² - 3a = 3 а (64a²y² - 1) = 3 а ((8ay) ² - 1) = 3 а (8ay - 1) (8ay + 1).

10). d² - b² + d - b = (d - b) (d + b) + d - b = (d - b) (d + b + 1).

11). d⁸ - d⁶ + d² - 1 = (d⁸ - d⁶) + (d² - 1) = d⁶ (d² - 1) + (d² - 1) = (d² - 1) (d⁶ + 1) = (d - 1) (d + 1) (d⁶ + 1).

16). (7a² - 4b²) ² - (3a² + 8b²) ² = (7a² - 4b² - (3a² + 8b²)) (7a² - 4b² + 3a² + 8b²) = (7a² - 4b² - 3a² - 8b²) (10a² + 4b²) = 2 (4a² - 12b²) (5a² + 2b²) = 8 (a² - 3b²) (5a² + 2b²) = 8 (a - √3b) (a + √3b) (5a² + 2b²).

17). (n³ + 1) ² - (n² + 1) ² = (n³ + 1 - (n² + 1)) (n³ + 1 + n² + 1) = (n³ + 1 - n² - 1) (n³ + 1 + n² + 1) = (n³ - n²) (n³ + n² + 2) = n² (n - 1) (n³ + n² + 2).

Для разложения этих выражений будем использовать формулы квадрата суммы (а + b) ² = (а² + 2ab + b²) и квадрата разности (а - b) ² = (а² - 2ab + b²), вынесение общего множителя за скобку:

6). 9k¹² - 30k⁶t⁵ + 25t¹⁰ = (3k⁶) ² - 2 ∙ 3 ∙5k⁶t⁵ + (5t⁵) ² = (3k⁶ - 5t⁵) ².

7). 3m⁶y + 18m³y⁵ + 27y⁹ = 3y (m⁶ + 6m³y⁴ + 9y⁸) = 3y ((m³) ² + 2 ∙ 3m³y⁵ + (3y⁴) ²) = 3y (m³ + 3y⁴) ².

8). d + 2cd + c²d = d (1 + 2cd + c²) = d (1 + c) ².

9). - 1 - 121a²b² + 22ab = - (1 + 121a²b² - 22ab) = - (1 - 2 ∙ 11ab + (11ab) ²) = - (1 - 2 ∙ 11ab + (11ab) ²) = - (1 - 11ab) ².

Чтобы разложить эти выражения, необходимо применить сначала формулу квадрата разности (а - b) ² = (а² - 2ab + b²), а затем разность квадратов а² - b² = (a - b) (а + b):

12). d² - 10dk + 25k² - t² = (d² - 2 ∙ 5dk + (5k) ²) - t² = (d² - 2 ∙ 5dk + (5k) ²) - t² = (d² - 5k) ² - t² = (d² - 5k - t) (d² - 5k + t);

13). p² - m² + 14m - 49 = p² - (m² - 14m + 49) = p² - (m² - 2 ∙ 7m + 7²) = p² - (m + 7) ² = (p - m - 7) (p + m - 7).

14). x² - 2ax + a² - n² = (x² - 2ax + a²) - n² = (x - a) ² - n² = (x - a - n) (x - a + n).

15). (4m² - 20mn + 25n²) - 36 = ((2m) ² - 2 ∙ 2 ∙ 5mn + (5n) ²) - 36 = (2m - 5n) ² - 6² = (2m - 5n - 6) (2m - 5n + 6).