Площадь равнобедренного треугольника с основанием 48 равна 768. На расстоянии 60 от плоскости треугольника выбрана точка, находящаяся на одинаковом расстоянии от вершины треугольника. Найдите это расстояние

Пусть АВС - данный треугольник (АВ = ВС, АС - основание). АС = 48. S (АВС) = 768. Пусть К - это точка, равноудаленная от вершин треугольника.

Так как К равноудалена от вершин, то расстояние от К до плоскости (АВС) будет равно КО (где О - центр описанной около треугольника окружности).

Проведем высоту треугольника ВН. Площадь треугольника равна половине произведения высоты на основание:

S = 1/2 * BH * 48.

24 * ВН = 768.

ВН = 32.

Высота равнобедренного треугольника является и медианой. Значит, АН = СН = 24.

В треугольнике ВНС вычислим длину ВС по теореме Пифагора:

ВС = √ (ВН² + CH²) = √ (32² + 24²) = √ (1024 + 576) = √1600 = 40.

Найдем радиус описанной окружности по формуле R = (abc) / 4S.

R = (40 * 40 * 48) / 4 * 768 = 25.

Рассмотрим треугольник АКО (угол О равен 90°, так как КО перпендикулярна АВС).

КО = 60, АО = R = 25. Вычислим длину АК по теореме Пифагора:

АК = √ (КО² + AO²) = √ (60² + 25²) = √ (3600 + 625) = √4225 = 65.

Ответ: расстояние от точки до вершин треугольника равно 65.