Найдите наименьшее и наибольшее значение функции : y=1/3x^3-x^2+1 на отрезке [-1; 3]

1. Найдем первую производную функции:

у' = (1/3 х^3 - х^2 + 1) ' = х^2 - 2 х.

2. Приравняем эту производную к нулю и найдем нули функции:

х^2 - 2 х = 0;

х * (х - 2) = 0.

Приравняем каждый множитель к нулю:

х = 0;

х - 2 = 0;

х = 2.

3. Найдем значение функции в этих точках и на концах заданного отрезка [-1; 3]:

у (0) = 0 - 0 + 1 = 1;

у (2) = 1/3 * 8 - 4 + 1 = 8/3 - 3 = 2 2/3 - 3 = - 1/3;

у (-1) = 1/3 * (-1) - 1 + 1 = - 1/3;

у (3) = 1/3 * 27 - 9 + 1 = 9 - 9 + 1 = 1.

Наибольшее значение функции в точке х = 0 и х = 3, наименьшее значение функции в точке х = 2 и х = - 1.

Ответ: fmax = 1; fmin = - 1/3.