Y = (x^2-2x-3) ^2 когда возрастает?

Чтобы найти промежутки возрастания (убывания) функции, нужно найти нули производной и определить знаки на каждом промежутке.

1) Найдем производную функции:

f (x) = (x^2 - 2x - 3) ^2.

f' (x) = 2 (x^2 - 2x - 3) ^ (2 - 1) * (x^2 - 2x - 3) ' = 2 (x^2 - 2x - 3) (2 х - 2).

2) Найдем нули производной:

2 (x^2 - 2x - 3) (2 х - 2) = 0.

Произведение тогда равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

x^2 - 2x - 3 = 0.

Подберем корни квадратного уравнения с помощью теоремы Виета: х₁ + х₂ = 2; х₁ * х₂ = - 3.

Корни равны (-1) и 3.

2 х - 2 = 0; 2 х = 2; х = 1.

Получилось три корня: - 1, 1 и 3.

3) Определим знаки получившихся промежутков:

(-∞; - 1) например, х = - 2: 2 ((-2) ^2 - 2 * (-2) - 3) (2 * (-2) - 2) = 2 * 5 * (-6) = - 60.

Производная отрицательна, функция убывает.

(-1; 1) например, х = 0: 2 (0^2 - 2 * 0 - 3) (2 * 0 - 2) = 2 * (-3) * (-2) = 12.

Производная положительна, функция возрастает.

(1; 3) например, х = 2: 2 (2^2 - 2 * 2 - 3) (2 * 2 - 2) = 2 * (-3) * 2 = - 12.

Производная отрицательна, функция убывает.

(3; + ∞) например, х = 4: 2 (4^2 - 2 * 4 - 3) (2 * 4 - 2) = 2 * 5 * 6 = 60.

Производная положительна, функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутках (-1; 1) и (3; + ∞).