Найти третий член бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем |q|<1, сумма которой равна 1.6, а второй член равен - 0.5

Рассмотрим бесконечную геометрическую прогрессию {b_n}, n = 1, 2, 3, ... По условию задания знаменатель q этой геометрической прогрессии удовлетворяет условию |q| < 1. Кстати, это условие является необходимым условием того, что данная бесконечная геометрическая прогрессия имеет конечную сумму (для нашего примера она равна 1,6, которую обозначим через S). Требуется найти третий член данной бесконечной геометрической прогрессии при известном втором члене b₂ = - 0,5. Воспользуемся формулой определения суммы бесконечной геометрической прогрессии: S = b₁ / (1 - q). Имеем: 1,6 = b₁ / (1 - q). По определению геометрической прогрессии b₂ = b₁ * q, откуда b₁ = b₂ / q. Подставим это в последнее равенство предыдущего пункта. Тогда, получим: 1,6 = (b₂ / q) / (1 - q) или 1,6 * (1 - q) = (-0,5 / q), откуда 1,6 * (1 - q) * q = - 0,5. Преобразуем полученное равенство. В результате, имеем: 16 * q² - 16 * q - 5 = 0. Найдем дискриминант квадратного уравнения: D = (-16) ² - 4 * 16 * (-5) = 256 + 320 = 576. Так как дискриминант больше нуля, то квадратное уравнение имеет два действительных корня: q₁ = (16 - √ (576)) / (2 * 16) = (16 - 24) / 32 = - 8/32 = - 0,25 и q₂ = (16 + √ (576)) / (2 * 16) = (16 + 24) / 32 = 40/32 = 1,25. Ясно, что корень q = 1,25 является побочным корнем, так как противоречит условию |q| < 1. При q = - 0,25, легко находим требуемое b₃ = b₂ * q = - 0,5 * (-0,25) = 0,125.

Ответ: 0,125.