Решите уравнение sin^4x+cos^4x=sin2x-0,5

1. Выделим квадрат двучлена:

sin^4 (x) + cos^4 (x) = sin2x - 0,5; sin^4 (x) + 2sin^2 (x) cos^2 (x) + cos^4 (x) - 2sin^2 (x) cos^2 (x) = sin2x - 0,5; (sin^2 (x) + cos^2 (x)) ^2 - 1/2 * 4sin^2 (x) cos^2 (x) = sin2x - 0,5; 1 - 1/2 * (2sinx * cosx) ^2 = sin2x - 0,5; 1 + 0,5 - 1/2 * sin^2 (2x) - sin2x = 0; 1,5 - 1/2 * sin^2 (2x) - sin2x = 0; 3 - sin^2 (2x) - 2sin2x = 0; sin^2 (2x) + 2sin2x - 3 = 0.

2. Решим уравнение относительно sin2x:

D/4 = 1^2 + 3 = 4; sin2x = - 1 ± √4 = - 1 ± 2;

a) sin2x = - 1 - 2 = - 3, нет решений;

b) sin2x = - 1 + 2 = 1;

2x = π/2 + 2πk, k ∈ Z; x = π/4 + πk, k ∈ Z.

Ответ: π/4 + πk, k ∈ Z.