Сумма катетов прямоугольного треугольника равна 15 см. Каковы долдны быть их длины, чтобы гипотенуза треугольника была наименьшей?

Обозначим через х один из катетов данного прямоугольного треугольника.

Согласно условию задачи, сумма катетов данного прямоугольного треугольника равна 15 см, следовательно, длина второго катета этого прямоугольного треугольника составляет 15 - х см.

Используя теорему Пифагора, находим длину гипотенузы с данного прямоугольного треугольника:

с = √ (х^2 + (15 - x) ^2) = √ (х^2 + 225 - 30x + х^2) = √ (2 х^2 - 30x + 225).

Преобразуем выражение под корнем, выделив в нем полный квадрат:

2 х^2 - 30x + 225 = 2 * (х^2 - 15x) + 225 = 2 * (х^2 - 15x + 56.25 - 56.25) + 225 = 2 * ((х - 7.5) ^2 - 56.25) + 225 = 2 * (х - 7.5) ^2 - 112.5 + 225 = 2 * (х - 7.5) ^2 + 112.5.

Следовательно, для того, чтобы гипотенуза треугольника была наименьшей, первый катет должен быть равен 7.5 см.

Тогда второй катет будет равен:

15 - х = 15 - 7.5 = 7.5 см.

Ответ: для того, чтобы гипотенуза треугольника была наименьшей, оба катета должны быть равны 7.5 см.