Найдите площадь прямоугольника, стороны которого относятся ка 3:4, а перпендикуляр, проведенный из вершины прямоугольника к диагонали равен 12 см.

Пусть АВСД - данный прямоугольник. ВН - перпендикуляр к диагонали АС, ВН = 12 см. АВ: ВС = 3 : 4, пусть АВ = 3 х, ВС = 4 х.

Треугольник АВС - прямоугольный, по теореме Пифагора: АС² = АВ² + ВС² = (3 х) ² + (4 х) ² = 9 х² + 16 х² = 25 х². Значит, АС = 5 х.

Треугольник АВС равен треугольнику АСД, значит, их площади равны. То есть площадь прямоугольника АВСД в два раза больше площади треугольника АВС.

S (АВС) = 1/2 * ВН * АС = 1/2 * 12 * 5 х = 30 х.

Значит, S (АВСД) = 30 х * 2 = 60 х.

Также площадь прямоугольника АВСД можно выразить как произведение длины на ширину:

S (АВСД) = АВ * ВС = 3 х * 4 х = 12 х².

Получается, что 12 х² = 60 х;

12 х² - 60 х = 0;

12 х (х - 5) = 0;

х = 0 (не может быть),

х = 5.

Значит, АВ = 3 х = 3 * 5 = 15 см.

ВС = 4 х = 4 * 5 = 20 см.

Следовательно, S (АВСД) = 15 * 20 = 300 см².

Ответ: площадь прямоугольника АВСД равна 300 см².