найти наименьшее и наибольшее значение y=1/3 cos x^2-1/3 sin^2 x+1

1. Находим стационарные точки функции:

y = 1/3 * cos^2 (x) - 1/3 * sin^2 (x) + 1; y = 1/3 (cos^2 (x) - sin^2 (x)) + 1; y = 1/3 * cos2x + 1; y' = - 1/3 * 2 * sin2x; y' = - 2/3 * sin2x; y' = 0; sin2x = 0; 2x = πk, k ∈ Z; x = πk/2, k ∈ Z.

2. Исследуем на монотонность:

x ∈ (πk, π/2 + πk), y' <0, функция убывает; x ∈ (π/2 + πk, π + πk), y'> 0, функция возрастает.

3. Экстремумы функции:

x1 = πk - точки максимума; y (max) = y (πk) = 1/3 * cos (2πk) + 1 = 1/3 * 1 + 1 = 4/3; x2 = π/2 + πk - точки минимума; y (min) = y (π/2 + πk) = 1/3 * cos (π + 2πk) + 1 = 1/3 * (-1) + 1 = 2/3.

Ответ: 2/3 и 4/3.